Du hast \(M^e_e(\varphi)\) gegeben, diese "nimmt" und "gibt" Vektoren der Basis \(e\). Du willst nun also mit \(M^e_e(\varphi)\) die Abbildungsmatrix \(M^b_b(\varphi)\) bestimmen. Dazu gehe ich jetzt mal zur Verdeutlichung schrittweise vor. Wir bilden zunächst \(M^b_e(\varphi)\) mit \(M^e_e(\varphi)\), hierfür müssen wir die Vektoren von Basis \(b\) zu Basis \(e\) transformieren, dies geht über die Matrix \(M^b_e(\text{id}_V)\) mit \(V:=K^{2\times 1}\). Es gilt nun also \(M^b_e(\varphi)=M^e_e(\varphi)\cdot M^b_e(\text{id}_V)\). Nun müssen wir nur noch die "Ausgabe" zur Basis \(b\) transformieren, dies geht analog über die Matrix \(M^e_b(\text{id}_V)\). Es gilt folglich $$M^b_b(\varphi)=M^e_b(\text{id}_V)\cdot M^b_e(\varphi)=M^e_b(\text{id}_V)\cdot M^e_e(\varphi)\cdot M^b_e(\text{id}_V)$$An dieser Gleichung siehst du auch schnell, warum du dir hier die Rechnung durch Invertieren vereinfachen kannst, es gilt nämlich \(M^b_e(\text{id}_V)=M^e_b(\text{id}_V)^{-1}\) und somit auch $$M^b_b(\varphi)=M^e_b(\text{id}_V)\cdot M^e_e(\varphi)\cdot M^e_b(\text{id}_V)^{-1}$$