Matrixgleichung lösen - Verständnisfrage zu transponierter Matrix

Aufrufe: 585     Aktiv: 21.02.2021 um 15:31
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Hallo liebe Community,

Ich habe eine Aufgabe gegeben in der ich eine Matrixgleichung nach X auflösen soll und alle notwendigen Voraussetzungen für die Existenz dieser Lösung angeben soll.

Auf dem Bild findet ihr die Aufgabe. Ich weiß grundlegend, wie ich mit Matrizen rechne. Allerdings finde ich in meinen Aufzeichnungen keine Erklärung, wie ich mit einer transponierten Matrix umgehe. Was muss ich dabei beachten?



Angefangen hätte ich damit das BX auf die linke Seite zu bringen und nachdem ich BT nach rechts gebracht habe X auszuklammern. 

Das wäre meine Lösung, wenn ich das transponierte einfach "transponiert lasse". Ich weiß aber nicht, ob das geht oder ob die Lösung richtig ist.



Vielen Dank an alle!
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1 Antwort
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Es gibt die Rechenregeln:

\((AB)^{T} = B^TA^T\)

und 

\((A+B)^T=A^T+B^T\)

Damit solltest du schon weiterkommen oder?
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Punkte: 2.46K

 
Ich habe meine Lösung mal oben ergänzt. Wenn du Zeit hast schau Sie dir doch mal an :) Vielen Dank   ─   yannikn. 21.02.2021 um 14:53
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Umformungen sehen gut aus. Letzte Zeile musst du aber nochmal durchdenken. Wann kannst du denn mit der Inversen multiplizieren?   ─   math stories 21.02.2021 um 14:55
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Außerdem hast du da ein + wo ein * stehen müsste (letzte Zeile)   ─   math stories 21.02.2021 um 14:57
Da muss ich kurz nachblättern, das weiß ich leider nicht. Ich schätze aber es hat mit der Einheitsmatrix zu tun.   ─   yannikn. 21.02.2021 um 14:59
das * muss zwischen (A-B)^-1 und (A+B)^T   ─   yannikn. 21.02.2021 um 15:00
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ne, viel einfacher! Du kannst nur mit der Inversen multiplizieren, wenn es die Inverse überhaupt gibt! :) Das ist bei Matrzien nicht immer der Fall. Die Matrix
\(\begin{pmatrix}1&1\\1&1 \end{pmatrix}\) ist z.B nicht invertierbar.   ─   math stories 21.02.2021 um 15:02
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das * muss zwischen (A-B)^-1 und (A+B)^T
JA   ─   math stories 21.02.2021 um 15:03
So: ich habe einen Trick in einem Buch gefunden, damit das (A-B) weg fällt. Stimmt die Lösung jetzt so? :D

Vielen vielen Dank   ─   yannikn. 21.02.2021 um 15:12
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Ja, stimmt. Ist dir bewusst, dass \(X\) eine Matrix ist? Würde das nämlich groß schreiben.

Also kommt raus:
\(X = (A-B)^{-1} \cdot(A+B)^T\)
Jetzt musst du aber noch die Frage beantworten, wann du diese Lösung überhaupt bestimmen kannst! Bei Multiplikation mit \((A-B)^{-1}\) musst du nämlich etwas voraussetzen!   ─   math stories 21.02.2021 um 15:17
A-B muss überhaupt invertierbar sein. Also muss A-B quadratisch sein?

Ich komme leider nicht drauf glaube ich   ─   yannikn. 21.02.2021 um 15:25
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Ja: \((A-B)\) muss invertierbar sein. Quadratisch brauchst du nicht, das sind sie nämlich eh, weil sowohl \(A\) als auch \(B\) quadratisch sind (Voraussetzung).

Hoffe das hat dir geholfen! ✅   ─   math stories 21.02.2021 um 15:27
Ich danke dir 1000 mal. Das war sehr hilfreich!!   ─   yannikn. 21.02.2021 um 15:31

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