Ein Baustein bei den Überlegungen ist, dass $\sin,\cos$ u.ä. $2\pi$-periodisch sind. Dann kannst Du beim zweiten Beispiel überlegen, ob und wie der $\sin$-Term periodisch ist (und nachweisen!) und ob, und ggf. was, die $+1$ daran was ändert (Nachweis!).
Im ersten Beispiel vermutet man, dass es nicht periodisch ist (weil $\cos$ periodisch ist und $x\mapsto x$ nicht). Das ist aber nur eine Vermutung.
Nachweis-Idee: Indirekt: Ang. $f(x)=x\cos x$ ist $p$-periodisch ($p>0$). Dann gilt für alle $x$: $(x+p)\cos(x+p)=x\cos x$. Führe das zum Widerspruch (Tipp: $x=0$ betrachten).
Man muss solche Beispiele jedes für sich betrachten, es gibt keine Methoden zum Auswendiglernen, die auf alle Beispiele passen.