Hey stern,
du hast eine Gleichung mit 2 Unbekannten, die du also nicht direkt lösen kannst. Folglich stellst du die Lösung in Abhängigkeit einer deiner Variablen dar. Sei \( s = t \in \mathbb{R} \) eine beliebige Zahl. Demnach gilt \( r = \frac{1}{5} + t \).
Das setzt du nun in deine Ebene \( E_1 \) für deine beiden Parameter \( r \) und \( s \) ein und erhältst:
\( g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + (\frac{1}{5} + t) \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \)
Jetzt kannst du das ganze ausmultiplizieren und erhältst:
\( g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \)
Durch zusammenfassen folgt wiederum (beachte Addition von Brüchen beim Zusammenfassen)
\( g: \vec{x}=\begin{pmatrix} \frac{17}{5} \\ \frac{4}{5} \\ \frac{25}{5} \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \)
Nun kannst du aus dem ersten Vektor wiederum \( \frac{1}{5} \) rausziehen und erhältst die von deinem Lehrer angegebene Lösung, die die Schnittgerade deiner beiden Ebenen beschreibt.