Hallo lilo,
mit
$$z_{x_{i}}=\frac{x_{i}-\mu}{\sigma}\tag{1}$$
werden sogenannte z-Werte berechnet. Mittels dieser z-Werte wird eine Verteilung so transformiert, dass der Mittelwert (arithmetisches Mittel) gleich 0 und die Standardabweichung gleich 1 ist. In einer Stichprobe werden statt der Grundgesamtheitsparameter \(\mu\) und \(\sigma\) die entsprechenden Maßzahlen \(\bar{x}\) und \(s\) genommen.
Die z-Werte brauchst Du zum Beispiel, wenn Du ermitteln willst, wieviel Prozent einer bestimmten Normalverteilung zwischen zwei Werten liegt. Du musst dann die entsprechenden Werte in z-Werte umrechnen und dann in einer Tabelle nachschauen.
Der Ausdruck
$$\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \tag{2}$$
ist, wie maccheroni_konstante ja schon gesagt hat, der Standardfehler. Der Standardfehler gibt darüber Auskunft, in welchem Bereich der Stichprobenmittelwert um den Grundgesamtheitsmittelwert streuen kann. Um \(\sigma\) aus den Daten der Stichprobe möglichst genau schätzen zu können, wird nicht die Stichprobenstandardabweichung genommen, sondern der folgende korrigierte Wert:
$$\hat{\sigma_{x}}=\sqrt{\frac{\sum\limits _{i=1} ^{n}(x_{i}-\bar{x})^2}{n-1}} \tag{3}$$
Was jetzt der Standardfehler im Nenner eines Bruchs soll, in dessen Zähler \(x-\mu\) steht, erschließt sich mir nicht, jedenfalls nicht auf den ersten Blick.
Hat das geholfen?
Viele Grüße
jake2042