Da das Integral sehr bekannt und wichtig ist, wurden sehr viele Wege gefunden, es zu berechnen. Bekannte, recht einfache Wege, involvieren Polarkoordinaten. Es gibt auch elementare Wege, die sind aber sehr umständlich und ich würde nicht erwarten, dass man da selbst drauf kommt. Ich gebe mal einen Überblick über einen möglichen Lösungsweg, der mir einfällt und der keine besonderen Vorkenntnisse außer Substitution und partieller Integration voraussetzt.

Aus den Ungleichungen \(1-t\leq e^{-t}\) und \(1+t\leq e^t\) (die sind sehr bekannt und können, falls nicht bekannt, auch recht einfach gezeigt werden), kann man die Ungleichungen $$\int_0^{\sqrt m}\left(1-\frac{x^2}m\right)^m\,dx\leq\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\leq\int_0^\infty\left(1+\frac{x^2}m\right)^{-m}\,dx$$ für alle \(m\in\mathbb N\) herleiten. Mittels der Substitutionen \(x=\sqrt m\sin t\) im linken und \(x=\sqrt m\tan t\) im rechten Integral (jeweils mit \(t\in[0,\frac\pi2]\), kann man die äußeren Integrale auf Integrale der Form \(I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n(x)\,dx\) zurückführen. Für diese kann man mit partieller Integration zunächst eine Rekursionsformel und damit die direkten Formeln $$I_{2n}=\frac\pi2\prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}\text{ und }I_{2n+1}=\prod_{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}$$ herleiten. Dadurch und durch Betrachtung des Grenzwertes von \(\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\) kann man dann für \(m\to\infty\) die beiden Integrale auswerten und landet bei dem gleichen Wert, sodass man damit auch den Wert von \(\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\) gefunden hat.

Selbst mit Anleitung ist das aber nicht einfach, das war (mit Anleitung) eine Aufgabe in meiner Analysis-Vorlesung im ersten Semester. Meine Rechnung ist (getippt) ungefähr drei Seiten lang. Vielleicht kennt jemand ja noch einen einfacheren Weg, wie gesagt, es gibt alle möglichen Herangehensweisen an das Gauß-Integral.