Nein, wähle zwei Funktionen \(f=g\) und betrachte die Wronski-Determinante \(W(f,g)\). Offensichtlich gilt \(W(f,g)=0\), aber \(f,g\) sind sicher linear abhängig.

Vielleicht wolltest du Fragen, ob die Funktionen linear abhängig sein müssen, wenn die Wronski-Determinante überall verschwindet, da ja die Umkehrung davon gilt. Das ist die interessantere Frage. Die Antwort dazu ist trotzdem Nein, betrachte z.B. die reellen Funktionen \(x^2\) und \(|x|\cdot x\). Du kannst nachrechnen, dass beide stetig differenzierbar sind und die Wronski-Determinante verschwindet, trotzdem sind die Funktionen linear unabhängig.

Man kann bei Wikipedia schnell nachlesen, dass deine Aussage falsch ist. Die lineare Unabhängigkeit folgt nämlich 1. nicht daraus, dass die Wronski-Determinante gleich Null ist, sondern ungleich Null und 2. für mindestens einen Wert in einem vorgegebenen Intervall. 

https://de.wikipedia.org/wiki/Wronski-Determinante