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Hallo,
wenn du zwei feste reelle Zahlen \(x,y\) hast, für die \(x<y\) gilt, dann liegen sogar unendlich viele rationale Zahlen dazwischen.
Du kannst dir ja überlegen dass \(y-x>0\) gilt, das heißt du findest eine natürliche Zahl \(n\), sodass \(\frac{1}{n}<y-x\), was daran liegt, dass die natürlichen Zahlen unbeschränkt sind. Jetzt ist aber \(\frac{1}{n+1}<y-x\) und \(\frac{1}{n+2}<y-x\) und so weiter. Das heißt du hast unendlich viele rationale Zahlen, die kleiner sind als die Differenz. Wenn du die dann auf dein \(x\) drauf addierst, bist du immer noch kleiner als \(y\). Jetzt kannst du natürlich sagen, dass die nicht unbedingt rational sein müssen, weil \(x\) ja irrational sein könnte. Aber wenn du es dir anschaulich überlegst, dann könntest du ja einfach auf die Nachkommastelle runden, sodass die Ungleichungen trotzdem noch passen.
Das kannst du auch sagen, aber die wollen scheinbar noch dazu haben, dass es zwei rationale Zahlen dazwischen gibt. Deine Cauchyfolgen sollten aber noch gegen \(x\) und \(y\) konvergieren oder? :)
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Leider nicht wirklich..... überlege grade schon die ganze Zeit, aber das kriege ich nicht hin. Die Definition mit der Nullfolge verstehe ich irgendwie auch nicht - also verstehen schon, aber ich kann's mir nicht so richtig vorstellen, dass das dem intuitiven kleiner/gleich bei reellen Zahlen gleichkommt... :/ ─ alskd 17.11.2019 um 15:18
Wir wollen zeigen, dass für fast alle \(n\) gilt: \(a_n < b_n\). Wir wissen, dass für die Grenzwerte gilt \(x < y\).
Nehmen wir an es würde für unendlich viele \(n\) gelten, dass \(a_n\geq b_n\) gilt. Dann können wir das als Teilfolge nehmen und wissen, dass bei konvergenten Folgen alle Teilfolgen gegen den gleichen Grenzwert gehen müssen. Bei dieser Teilfolge gilt also für alle Folgenglieder \(a_n\geq b_n\), also muss auch für die Grenzwerte \(a\geq b\) gelten. Die Grenzwerte sind aber gerade durch \(a=x\) und \(b=y\) gegeben, weil wir eine Teilfolge haben. Also würde \(x\geq y\) gelten, was ein Widerspruch ist.
Findest du das macht so Sinn? :) ─ endlich verständlich 17.11.2019 um 15:52
Das ist mir irgendwie zu wischi waschi... was heißt das? Also den Beweis kann ich schon nachvollziehen, aber irgendwie akzeptiert mein Kopf ihn noch nicht als Beweis in dem Sinne, dass ich für mich intuitiv logisch ist, dass die Implikation gilt... ─ alskd 17.11.2019 um 18:12
\(\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-y)+\lim_{n\rightarrow\infty}(y-a_n)>\lim_{n\rightarrow\infty}(x-a_n)=0\).
Somit muss \(b_n>a_n\) für fast alle \(n\) gelten. ─ endlich verständlich 17.11.2019 um 18:28
─ endlich verständlich 17.11.2019 um 18:30
─ endlich verständlich 17.11.2019 um 18:32
\(\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n)-\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)=y-x>0\). ─ endlich verständlich 17.11.2019 um 18:37
- Wieso reicht es nicht, einfach wie ich oben beschrieben habe, zu sagen, ab einer bestimmten Grenze gilt für die beiden Folgenglieder a_n < b_n? Dass unendlich viele Zahlen (und damit auch mind. 2) dazwischenliegen ist schön und klar intuitiv, aber warum ist es dann so wichtig zu zeigen, dass 2 Zahlen dazwischenliegen?
- Wie zeige ich, dass diese Äquivalenz gilt? Kannst du mir irgendeinen Ansatzpunkt geben? Ich habe mir schon die Definitionen aufgeschrieben und okay, ab irgendeiner Grenze N = max(N_a, N_b) liegt die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgengliedern jeweils in einer Epsilon-Umgebung...., aber wie komme ich dann weiter?
Danke dir für deine Hilfe. ─ alskd 17.11.2019 um 15:01