Abstand eines Punktes von einer Ebene

Aufrufe: 735     Aktiv: 14.05.2020 um 19:08
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Bestimmen Sie alle Punkte auf g, die von der Ebene E den Abstand 3 haben.

gegeben sind g und E

wie muss ich hier vorgehen? 
ps. Wir hatten noch keine allgemeine Formel erarbeitet, mit der man Punkte mit gegebenem Abstand berechnen kann.

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gefragt

Schüler, Punkte: 56

 
Habt ihr die Hessenormalform zur Berechnung des Abstands von einer Ebene?   ─   digamma 14.05.2020 um 10:33
Nein, noch nicht.   ─   merve.g 14.05.2020 um 10:34
Weisst Du, wie man den Abstand eines Punktes P von der Ebene E berechnet?
Wenn nicht schau Dir das hier an:
https://www.youtube.com/watch?v=4z3L8Kw0ZYc   ─   xx1943 14.05.2020 um 10:56
Ja, das kann ich   ─   merve.g 14.05.2020 um 10:57
Du kannst die Geradengleichung als variablen Punkt auffassen.
Dann berechnest Du den Abstand dieses (variablen) Punktes von der Ebene in Abhängigkeit von der Laufvariablen der Geraden.
Am besten Du postest mal die ganze Aufgabe mit den gegebenen Zahlen. Dann können wir die Aufgabe gemeinsam bearbeiten.   ─   xx1943 14.05.2020 um 12:13
E: 4x+4y-7z= 40,5
Und g: x=(0|0|0)+r• (4|4|-7)
Aufgabe: Bestimmen Sie alle Punkte auf g, die von der Ebene E den Abstand 3 haben.

Wie meinst du das genau mit variablen Punkt und vielen Dank schonmal, dass du dir Zeit nimmst, um mir zu helfen!   ─   merve.g 14.05.2020 um 16:10
Der Richtungsvektor der Geraden ist gleich dem Normalenvektor der Ebene. Die Gerade ist also orthogonal zur Ebene. Du musst also erstens den Schnittpunt ausrechnen, zweitens die Länge des Richtungsvektors berechnen und dann schauen, wie oft du vom Schnittpunkt aus den Richtungsvektor gehen musst, damit der Abstand (das ist dann die Strecke auf der Geraden) = 3 ist. Da du auf der Gerade in zwei Richtungen gehen kannst, gibt es zwei solche Punkte.   ─   digamma 14.05.2020 um 17:25
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1 Antwort
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Du hast die Ebene:

1. Stelle sie nach der Hessenormalform um

E:[x-p]*n=0 der n-Vektor muss der Normalenvektor sein. (Statt x die Geradengleichung und für p einen Punkt auf der Ebene)

2. Multipliziere aus: \(\frac{x_1n_1+x_2n_2+x_3n_3-p_1n_1-p_2n_2-p_3n_3}{\vert n \vert}=d\)

3. d einsetzen d=3

4. Nach \(\lambda\) ummformen oder die andere Variable, welche den Richtungsvektor der Gerade wiedergibt.

 

Hoffentlich kommte ich dir helfen

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Punkte: 370

 
Vielen Dank! Wir haben nur bisher die hessennormalform nicht thematisiert, sodass ich dachte, dass es einen anderen Lösungsweg geben müsste.
Ich werde das aber auch mal mit der Hessennormalform probieren.   ─   merve.g 14.05.2020 um 16:12
Es gibt einen anderen Weg. Das ist praktisch die Herleitung der HNF.   ─   xx1943 14.05.2020 um 19:08

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