Topologische äQuivalenz

Aufrufe: 393     Aktiv: 30.04.2021 um 14:42
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es geht daru, dass ich den Beweis zu dem Satz verstehe.

Satz: 
Sei f:X -> Y stetige bijektive Abbildung. Sei X quasi- kompakt und Y Hausdorff. Dann ist f topologische Äquivalent 

Beweis 
Es ist zu zeigen, dass die Umkehrabbildung f^{-1} stetig ist.
Aber f^{-1} <-> für offenes O in X ist (f^{-1})^{-1}(O) offen in Y. 
Per Übergang zum Komplement ist das gleichbedeutend damit, daß f abgeschlossene Abbildung ist. Das sagt aber gerade der Satz


Leider verstehe ich bei dem Beweis noch nichtmal den Anfang und hoffe daher auf Hilfe
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Es muss gezeigt werden, dass \(f\) eine abgeschlossene Abbildung ist. Dann sind nämlich die Urbilder abgeschlossener Teilmengen von \(X\) unter \(f^{-1}\) abgeschlossen, und damit \(f^{-1}\) stetig. Ist das soweit klar?

Was soll das bedeuten: "Das sagt aber gerade der Satz"? Das muss jetzt bewiesen werden.

Sei also \(A\subseteq X\) in \(X\) abgeschlossen. Es ist zu seigen, dass \(f(A)\) in \(Y\) abgeschlossen ist. Der Beweisgang ist so: \(\Rightarrow\ A\) ist quasikompkt \(\Rightarrow f(A)\) ist quasikompakt \(\Rightarrow f(A)\) ist abgeschlossen. Um die Schritte zu begründen, zieht man die gegebenen Eigenschaften der Räume heran.

Hilft das?
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