Teil A:
Das eigentlich alte Problem ist, dass niemand auf die Idee kommt, am Anfang erstmal genau aufzuschreiben, was die Zufallsgröße $X$ eigentlich sein soll.
(Nebenbemerkung: Was eine Zufallsgröße eigentlich genau ist, habe ich bisher in den allerwenigsten Channels ordentlich erklärt gefunden.)

Du hast hier prinzipiell zwei Möglichkeiten.
1) $X$ ist der ausgezahlte Betrag, also entweder nichts oder 2€. Manche Leute würden sagen, dass man bei zweimal rot den Gewinn 2€ bekommt.
2) $X$ ist die Veränderung im Portemonnaie des Spielers aufgrund des Spiels. Hat er verloren, dann -1, gewinnt er, dann +1. Manche Leute würden sagen, dass man einen Gewinn von 1€ gemacht hat.

Also: "Gewinn in Euro" ist erstmal ungenau, weil aufgrund der Alltagssituation interpretierbar.

Du hast Dich für 2) entschieden.

Teil B:
Die Wahrscheinlichkeit $P(X=1)=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}$ für den Gewinnfall ist richtig (in beiden Stufen des Versuchs kommt rot). Warum schreibst Du da $\cdot 2$ hinter? Kommst Du hier doch mit Möglichkeit 1) von oben durcheinander? Außerdem ist es mathematisch falsch, weil die 2 vor dem = noch nicht da war.

Teil C:
Für die Gegenwahrscheinlichkeit gilt ja, wenn es nur zwei Möglichkeiten gibt: $P(\text{nicht rot})=1-\frac14$. Die Rechnung ist hier genau die gleiche. Also $P(X=-1)=\ldots$ und dann kommt als Summe auch $1$ heraus.

Teil D:
Erst beim Berechnen des Erwartungswerts wird die Wahrscheinlickeit mit dem Wert der Zufallsgröße multipliziert.