Servus,
Der Satz besagt: Ist \(I\) \(\subseteq\) \(\mathbb{R}\) ein kompaktes Intervall, so ist \(C(I)\) mit der Supremumsnorm ein Banach-Raum.

Der Beweis fängt damit an, das man sich eine Cauchy-Folge \(f_n\) aus \(C(I)\) vorgibt (Das ist mir noch klar warum). Dann ist für jedes \(\ x \in I\) die Zahlenfolge (\(f_n(x)\)) eine Cauchy Folge in \(\mathbb{C}\) und damit konvergent. 

Mir ist jetzt der letzte Satz nicht klar, warum ist die Zahlenfolge plötzlich eine Cauchy Folge in \(\mathbb{C}\) und nicht in \(\mathbb{R}\)? Oder ist damit schon \(\mathbb{R}\) gemeint? Den Rest vom Beweis geht dann halt weiter, dass man zeigt das Grenzwert stetig ist, was ansich klar ist.