Stetigkeit beim "Knick"

Aufrufe: 788     Aktiv: 03.01.2021 um 11:52
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Hallo zusammen, 

 

folges Video von Daniel Jung: https://www.youtube.com/watch?v=AoA2T3dPuwk (Minute: 4:50) 

Stetig ist diese Funktion,laut Video. Allgemein, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten einer Funktion an einer beliebigen Stelle gleich dem Funktionswert ist. Aber das muss ja auch dann für die ganze Funktion als solche gelten, also, dass sie stetig ist. Das berechnet man ja mit dem "links-Limes" und dem dazugehlrigen "rechts-limes", die zumal gleich sein müssen - soweit so gut.

Wenn man nun sagt, man nimmt die genannte Stelle von Daniel Jung und führt die Grenzwertbildung durch, dann hat man ja zwei unterschiedliche Grenzwerte heraus, was dann ja auf Nichtstetigkeit schließen lässt. Wieso ist diese Funktion im Allgemeinen dennoch stetig? Das Beispiel mit "dem Stift nicht absetzten" klärt diese Frage zwar, würde aber gerne die "mathematischere" Variante notieren. 

VG


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Könntest du mir das mit der Betragsfunktion mal durchrechnen, ich steige da grad nicht durch, gerade auch, weil ein "Knick" vorliegt. Vor allem, ich bilde ja den bei der Stetigkeit und Differenzierbarkeit den links- und rechts-Limes, wobei die bei der Differenzierbarkeit ungleich sind (?). Das verstehe ich nicht.   ─   tim.490 02.01.2021 um 18:58
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wenn du z.B. eine abschnittsweise definierte Funktion hast, für die für x>= xo eine andere Gleichung zugeordnet ist als für x<xo , so kannst du den Funktionswert nur mit der einen Gleichung ausrechnen, die andere sollte aber zum gleichen y-Wert "hinführen" (limes); wäre das nicht der Fall, hättest du hier eine "Sprungstelle"


(hab's jetzt mal als Antwort geschrieben, weil mein Kommi immer abgebrochen wurde)

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1. Wenn man z. B. eine abschnittsweise definierte Funktion hat, wie komme ich dann an den Funktionswert? x0 sei 0.
Beispiel: f(x) = x^2 für x ungleich 0
1 für x = 0
Laut Lösung: Funktionswert gleich 1. Für mich ist der Rechenweg unklar.

2. Wieso kann man den Funktionswert nur mit einer Funktion ausrechnen?

  ─   tim.490 03.01.2021 um 10:48
f(x) = x^2 für x ungleich 0
1 für x gleich 0

So müsste die Funktion heißen.   ─   tim.490 03.01.2021 um 10:49
das ist auch kein Rechenweg sondern einfach so festgelegt (im "richtigen Leben" mag es Gründe dafür geben, die Null nicht zuzulassen)   ─   monimust 03.01.2021 um 10:54
Aber wie kommt man denn hier auf den Funktionswert, es gibt ja zwei einzelne Funktionen, die ja eine ergeben. Aber ich weiß nicht, in welche von beiden man die x0 = 0 einsetzten muss?   ─   tim.490 03.01.2021 um 11:00
die beiden einzelnen Funktionen wurden so zusammengebastelt, dass keine Definitionslücke entsteht. Wenn du einen Funktionswert berechnen willst, schaust du auf die Teilfunktion, bei der dein x-Wert definiert ist. Im Fall x=0 ist das die 2. Teilfunktion und die heißt f(x)=1 (wobei die in diesem Beispiel eben nur für x=0 gilt, es könnte auch anders festgelegt/definiert sein) somit ist f(0)=1 (einfach nur ablesen, hier kann man nichts berechnen)   ─   monimust 03.01.2021 um 11:06
Wenn du dir den Graphen dazu vor Augen hältst, so hast du eine Normalparabel und im Ursprung ein Loch. Beim x-Wert 0 wird dann einfach festgelegt, dass der y-Wert hier 1 sein soll, also Normalparabel mit Zusatzkreuzchen in (0/1) , das "Loch" muss markiert werden, es ist zu klein.   ─   monimust 03.01.2021 um 11:12
Macht Sinn.
Wenn man aber nun bei beiden "Teilfunktionen" keine zwei Zahlen stehen hat (oder nur eine), sondern Terme (z.B. 29x für x kleiner gleich 36 und 50x - 756 für größer 36) und es ist der Funktionswert für x0 = 36 gefragt, wie komme ich denn dann daran? Mann kann ihn dann ja schlecht ablesen, wie in meinem letzten Beispiel.   ─   tim.490 03.01.2021 um 11:17
schau dir doch an, bei welcher Teilfunktion dein x-Wert (hier 36) definiert ist (steht sogar in deiner wörtlichen Beschreibung hier richtig drin) , In diese Teilfunktion setzt du ein

Wenn du (um auf die Eingangsfrage zurückzukommen) zeigen willst, dass die Funktion stetig ist bei x=36, dann muss der Grenzwert der anderen Teilfunktion zum gleichen y-Wert führen, in diese darfst du ja nicht einsetzen, weil x=36 dort nicht definiert ist.   ─   monimust 03.01.2021 um 11:21
Dann in 29x --> 1.044.´als Funktionswert and der Stelle x0 = 36. Okay.
Dann ist die von dir genannte "andere Funktion" also 50x - 756. Wen ich davon den Grenzwert bei xo = 26 bilde, dann komme ich ebenfalls auf 1.044.
Funktion ist stetig.

Ich habe das so gelernt, dass man immer zwei Limites bildet, also den links- und rechtssteigen. Der ist ja auch im obigen Beispiel gleich.
Aber bei dem folgenden gibt es noch ein Problem.
Ich habe das mal hier hochgeladen: https://www.mathefragen.de/frage/q/df41e4d941/sind-die-beiden-limites-korrekt/   ─   tim.490 03.01.2021 um 11:33
du hast recht, korrekterweise müssen beide Grenzwerte und der Funktionswert übereinstimmen, Oft vereinfacht sich das zwar auf die Betrachtung des Funktionswertes, aber nicht immer.   ─   monimust 03.01.2021 um 11:44
Hier war es ja durch den Funktionswert ersichtlich; hätte man nochmals den Limes für 29x mit 36 gebildet hätte, hätte ich ja nur wieder eingesetzt, was ich ja schon bei der Berechnung des Funktionswertes gemacht habe. Danke.   ─   tim.490 03.01.2021 um 11:52

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Unstimmigkeit in deinem Verständnis:

Stetig ist eine Funktion an einer Stelle xo dann, wenn der rechts- oder linksseitige Grenzwert der Funktion (nicht des Differenzenquotienten!) mit dem Funktionswert übereinstimmen (die Funktion muss an der Stelle xo definiert sein und hat damit einen Funktionswert, siehe auch stetig behebbare Funktionen)

die Grenzwerte  des Differenzenquotienten (= Differentialquotient, Ableitung, Steigung der Tangente) müssen für eine Differenzierbarkeit übereinstimmen, Stetigkeit ist dafür Voraussetzung

also, es sind 2 verschiedene "Limese", einmal Funktionswerte betreffend und einmal die Steigungen und die müssen nicht übereinstimmen.

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DANKE! Macht viel mehr Sinn nun. Weiß man auch, warum die Stetigkeit über den Grenzwert der Funktion definiert ist?   ─   tim.490 02.01.2021 um 19:14
wenn du z.B. eine abschnittsweise definierte Funktion hast, für die für x>= xo eine andere Gleichung zugeordnet ist als für x   ─   monimust 02.01.2021 um 19:29
irgendwie kommt hier immer nur 1/3 meines Kommentars durch ???   ─   monimust 02.01.2021 um 19:30
@cauchy und du meinst, hätte ich limites geschrieben, wäre das genau so verständlich gewesen?   ─   monimust 02.01.2021 um 20:47

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