Zum Nachweis der Inklusion betrachten wir ein beliebiges Element \( x \in \lim \inf_{n \to \infty} A_n \) und zeigen, dass auch \( x \in \lim \sup_{n \to \infty} A_n \) gilt.

Wenn \( x \in \cup_{k \in \mathbb{N}} ( \cap_{n \ge k} A_n ) \) ist, dann bedeutet das ja, dass es ein \( k_0 \in \mathbb{N} \) geben muss, sodass \( x \in \cap_{n \ge k_0} A_n \) ist. Das bedeutet wiederum, dass \( x \in A_n \) für alle \( n \ge k_0 \) gelten muss. Insbesondere gibt es nun zu jedem \( k \in \mathbb{N} \) ein \( n_0 \ge k \), sodass \( x \in A_{n_0} \) ist (Wir können beispielsweise \( n_0=\max\{k,k_0\} \) wählen). Das heißt, dass \( x \in \cup_{n \ge k} A_n \) für alle \( k \in \mathbb{N} \) gilt. Und somit muss \( x \in \cap_{k \in \mathbb{N}} (\cup_{n \ge k} A_n) \) sein.

Der Beweis erfordert eigentlich keine tiefergehenden Kenntenisse, sondern nur die Definitionen von Vereinigungen und Schnitten von Mengen. Ich hoffe, dass das soweit verständlich ist und dass ich dir damit helfen konnte.