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Du musst zuerst die Bewegungsgleichungen als Geradengleichungen austellen. Hast du einen Startpunkt, eine Geschwindigkeit und eine Richtung gegeben dann lautet die Gleichung:
\(g:\vec{x}=\vec{s}+t\cdot v\cdot\dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\)
\(t\) ist die Zeit
\(v\) ist die Geschwindigkeit
\(\vec{s}\) ist der Ortsvektor des Startpunktes
\(\vec{r}\) ist der Richtungsvektor der Bewegung
\(\vec{x}\) ist der Ortsvektor zum Flugobjekt zum Zeitpunkt \(t\). Der Vektor sagt dir dann also, wo zb der Ballon ist
\(|\vec{r}|\) ist der Betrag, also die Länge des Richtungsvektors
Du musst etwas mit den Einheiten aufpassen: Alles muss mit der selben Längeneiheit sein. Also z.B. die Koordinaten in km und dann auch die Geschwindigkeit in km/h.
Außerdem ist die Einheit der Zeit die Einehit die auch in der Geschwindigkeit vorkommt: Also hier km/h --> Zeit in Stunden. Bei der Aufgabe passt soweit alles, also muss man nichts umrechnen.
Bevor wir die Werte einsetzen vielleicht nochmal kurz erklärt woher die Gleichung überhaupt kommt:
Wir Starten beim Startpunkt \(S\), soweit klar. Dann gehen wir mit jedem Zeitschritt in Richtung des Richtungsvektors, das ist hoffentlich auch logisch.
Die Gleichung würde dann so aussehen:
\(g:\vec{x}=\vec{s}+t\cdot\vec{r}\)
Jetz müssen wir aber noch die Geschwindigkeit einbauen. Dazu normieren wir zuerst den Richtungsvektor, indem wir mit dem Betrag des Richtungsvektors teilen.
Das führt dazu, dass der pro Zeitschritt addierte Vektor immernoch in die selbe Richtung zeigt, aber nur eine Längeneinheit lang ist. Die Gleichung wäre dann
\(g:\vec{x}=\vec{s}+t\cdot\dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\)
Wenn wir jetzt eine Zeiteiheit (also eine Stunde) nach vorne gehen, hätte sich der Ballon genau einen Kilometer weiterbewegt. Da sich der Ballon in einer Stunde aber um 14km bewegt haben muss, können wir final mit der Geschwindigkeit multiplizieren. Wir kommen auf die oben erwähnte Gleichung
\(g:\vec{x}=\vec{s}+t\cdot v\cdot\dfrac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\)
Jetzt zu deinem Beispiel. Wir fangen an mit der Gleichung für den Ballon:
Wir haben gegeben: \(\vec{s}=(16,-2,4)\)
\(v=14km/h\)
Der Richtungsvektor wurde in der Aufgabe \(\vec{v}\) genannt, also bitte nicht mit der Geschwindigkeit verwechseln. Der Übersicht halber nenne ich den Richtungsvektor \(\vec{r}\)
\(\vec{r}=\vec{v}=(-3,6,2)\)
Den Betrag kannst du jetzt auch berechnen:
\(|\vec{r}|=\sqrt{(-3)^2+6^2+2^2}=7\)
Wir erhalten die Bewegungsgleichung
\(g:\vec{x}=(16,-2,4)+t\cdot 14\text{km/h}\cdot\dfrac{1}{7}\cdot(-3,6,2)\)
Um die Höhe um 13:45 Uhr herauszufinden, setzt du einfach \(t=45min=0.75h\) in die Gleichung ein.
Da uns nur die Höhe \(h\) interessiert brauchen wir nur die \(z\) Werte, also die unterste Zeile ausrechnen.
\(h=4+\dfrac{3}{4}\cdot14\cdot\dfrac{1}{7}\cdot 2=7\text{km}\)
Bei d) gehst du jetzt ähnlich vor.
Die Bewegungsgleichung für den Ballon hast du schon, die Position berechnest du dann mit \(t=0.5\text{h}\).
Für die Drohne musst du nicht Zwangläufig die genaue Bewegungsgleichung aufstellen. Du kannst auch folgendermaßen vorgehen:
1. Richtungsvektor von Start zu Ziel berechnen (dazu die Ortsvektoren voneinader abziehen).
2. Die Länge der Strecke berechnen und dann mit der Geschwindigkeit über \(t=\dfrac{s}{v}\) die Zeit ausrechnen, die die Drohne für den Hinflug braucht. Wenn das mehrals 30Minuten sind, ist die Drohne noch auf dem Hinflug. Du kannst dann berechnen, wie weit die Drohne auf der Strecke ist (Dreisatz) und dann die Position bestimmen. Wenn sie pro Strecke unter 30min braucht musst du halt berechnen wie weit sie schon auf dem rückweg ist und daraus die Position bestimmen.
Du kannst natürlich auch die Bewegungsgleichung aufstellen, dabei brauchst du dann eine für den Hinflug und eine entgegengesetz für den Rückflug. Hier gibts also mehrer Möglichkeiten um auf die Position der Drohne zu kommen.
Wenn du dann beide Positionen hast, berechnest du den Vektor, der die Drohne und den Ballon verbindet. Die Entfernung ist dann der Betrag dieses Vektors, dann schaust du ob der unter 10km ist.
Wenn Beispielsweise \(\vec{OB}\) die Position des Ballons und \(\vec{OD}\) die Position de rDrohne um 13:30 ist, berechnest du den Abstand zwischen den Beiden mit
\(d=|\vec{OB}-\vec{OD}|\)
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