Keine Ahnung obs dafür ne schöne Lösung gibt aber mein Ansatz wäre infach in die Stammfunktion einsetzen und dann nach \(x\) ableiten.

Dazu berechnest du

\(F(y)=\int e^{-y^2}dy\)

Hier kannst du einen kleinen Trick anwenden:

\(\int e^{-y^2}dy=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\int \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-y^2}dy\)

Das Integral ist ist die Gaußsche Errorfunktion \(\text{erf}(x)\) Siehe hierzu https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfunktion

\(\int e^{-y^2}dy=\frac{\sqrt{\pi}}{2}~\text{erf}(y)+C\)

Jetzt die Integralgrenzen einsetzen:

\(\int \limits_{x^2}^{2x^2}e^{-y^2}dy=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\left( \text{erf}(2x^2)-\text{erf}(x^2) \right)\)

Jetzt kannst du wieder die Ableitung bilden: Dabei gilt:

\(\frac{d}{dx}\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}\)

Daraus folgt also:

\(\frac{d}{dx}~\text{erf}(2x^2)=\frac{8x}{\sqrt{\pi}}e^{-4x^4}\)

und

\(\frac{d}{dx}~\text{erf}(x^2)=\frac{4x}{\sqrt{\pi}}e^{-x^4}\)

Damit ergibt sich:

\(h(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\left( \text{erf}(2x^2)-\text{erf}(x^2) \right)\)

\(h'(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\left( \text{erf}(2x^2)'-\text{erf}(x^2)' \right)\)

\(h'(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\left( \frac{8xe^{-4x^4}}{\sqrt{\pi}}-\frac{4xe^{-x^4}}{\sqrt{\pi}} \right)=4xe^{-4x^4}-2xe^{-x^4}\)

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechung sagt: Wenn

`F(x) = int_a^x f(y) dy`

ist, dann ist `F'(x) = f(x)`.

Du kannst also `h(x)` umschreiben zu

`h(x) = F(2x^2)-F(x^2)`

und leitest dann mit der Kettenregel ab.