Dein erster Ausdruck ist lediglich \(\sqrt{2}\), wegen \(\sqrt[3]{2\cdot \sqrt{2}}=\sqrt[3]{(\sqrt{2})^2\cdot \sqrt{2}}=\sqrt[3]{(\sqrt{2})^3}=\sqrt{2}\)

Dein zweiter Ausdruck, wäre gleich \((\sqrt{2})^3\) und damit \(\neq \sqrt[3]{2}\).

Schau dir lieber nochmal Protenz- und Wurzelgesetze an, z.B. gilt: \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\), welches du in deinem ersten Beispiel unter der Wurzel angewendet hast. Du kannst aber auch die Wurzel in Potenzschreibweise überführen mit \(\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}\).

Hoffe das hilft dir weiter.

Vielleicht helfen dir folgende Zwischenschritte:

\(\sqrt[3]{2*\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(\sqrt{2})^2*\sqrt{2}}\)