Ist \(y_1(x)\) eine mögliche Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung 2ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten der Form \(y''+ay'+by=0\), dann ist auch die mit einer beliebigen Konstanten \(c\in \mathbb{R}\) multiplizierte Funktion \(y(x)=c\cdot y_1(x)\) eine Lösung der Differentialgleichung. Dies lässt sich leicht zeigen durch:

\((c\cdot y_1)''+a(c\cdot y_1)'+b(c\cdot y)=c\cdot \underset{=0}{\underbrace{(y_1''+ay_1'+by_1)}}=0\).

Der allgemeine Lösungsansatz ist hier \(y(x)=e^{\lambda x}\), da jede Ableitung laut Differentialgleichung proportional zu der vorangegangenen bzw. Ausgangsfunktion ist und dieses Verhalten nur die Exponentialfunktion aufweist. Ziel des Ansatzes ist es nun die zulässigen Werte von \(\lambda\) zu bestimmen.

Hoffe das klärt die Frage auf.