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Beantworte dir zunächst folgende Fragen:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Mehrheit aus genau 8 Personen zu bekommen? Wie viele Möglichkeiten gibt es für eine Mehrheit aus 9 Personen? usw.
Drücke dabei die Möglichkeiten durch Binomialkoeffizienten aus.
Wenn du das hast, kannst du nun schlussfolgern, auf wie viele Arten sich eine Mehrheit zusammensetzen kann. Es ist die Summe der obigen Binomialkoeffizienten.
Jetzt kannst du noch die Symmetrie der Binomialkoeffizienten ausnutzen, um die Formel aus dem Hinweis verwenden zu können. Das sollte dich dann zum Ergebnis führen.
Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Mehrheit aus genau 8 Personen zu bekommen? Wie viele Möglichkeiten gibt es für eine Mehrheit aus 9 Personen? usw.
Drücke dabei die Möglichkeiten durch Binomialkoeffizienten aus.
Wenn du das hast, kannst du nun schlussfolgern, auf wie viele Arten sich eine Mehrheit zusammensetzen kann. Es ist die Summe der obigen Binomialkoeffizienten.
Jetzt kannst du noch die Symmetrie der Binomialkoeffizienten ausnutzen, um die Formel aus dem Hinweis verwenden zu können. Das sollte dich dann zum Ergebnis führen.
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42
Student, Punkte: 7.02K
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14 über 8 und 14 über 9 sind richtig. So geht es dann weiter, bis zu 14 über 14.
Du erhältst insgesamt also \( \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 9 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} \) Arten, eine Mehrheit zu bekommen.
Siehst du, wie es jetzt weitergehen kann? ─ 42 05.11.2021 um 20:44
Du erhältst insgesamt also \( \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 9 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} \) Arten, eine Mehrheit zu bekommen.
Siehst du, wie es jetzt weitergehen kann? ─ 42 05.11.2021 um 20:44
Nein, leider nicht..
Also 14 bleibt und der Wert unten vermehrt sich um eins bis 14. Aber irgendwie sehe ich nicht, wie mir das jetzt weiterhilft. Schuldigung ─ anonym390d4 05.11.2021 um 20:47
Also 14 bleibt und der Wert unten vermehrt sich um eins bis 14. Aber irgendwie sehe ich nicht, wie mir das jetzt weiterhilft. Schuldigung ─ anonym390d4 05.11.2021 um 20:47
Entschuldige, ich muss mich korrigieren. Ich war davon ausgegangen, dass sich eine Mehrheit darauf bezieht, dass mindestens acht Leute mit "Ja" stimmen. Das ist natürlich nicht richtig. Wenn mindestens acht Leute mit "Nein" stimmen, ist das ja auch eine Mehrheit.
─
42
05.11.2021 um 21:03
Alles gut, okay :)
─
anonym390d4
05.11.2021 um 21:06
Eine Mehrheit aus genau 8 Personen bekommt man also, wenn 8 Leute mit "Ja" stimmen oder wenn 8 Leute mit "Nein" stimmen. Die Möglichkeiten dafür, dass 8 Leute mit "Ja" stimmen, hast du richtig angegeben mit 14 über 8. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun dafür, dass 8 Leute mit "Nein" stimmen? Oder anders gefragt: Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, dass 6 Leute mit "Ja" stimmen?
─
42
05.11.2021 um 21:08
14 über 6, oder?
─
anonym390d4
05.11.2021 um 21:10
Ja, genau. Für eine Mehrheit von genau 8 Personen erhalten wir also \( \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 6 \end{pmatrix} \) Möglichkeiten. Entsprechend erhalten wir dann für 9 Personen \( \begin{pmatrix} 14 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 5 \end{pmatrix} \) Möglichkeiten und so weiter, bis zu 14 Personen mit \( \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \end{pmatrix} \) Möglichkeiten.
Insgesamt kommt man so auf
\( \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 5 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Arten, eine Mehrheit zu bekommen. Das kann man jetzt noch ein bisschen sortieren. Dann erhält man
\( \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} \)
Hier kannst du nun die Formel aus dem Hinweis verwenden. Was erhältst du dann? ─ 42 05.11.2021 um 21:19
Insgesamt kommt man so auf
\( \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 5 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Arten, eine Mehrheit zu bekommen. Das kann man jetzt noch ein bisschen sortieren. Dann erhält man
\( \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} \)
Hier kannst du nun die Formel aus dem Hinweis verwenden. Was erhältst du dann? ─ 42 05.11.2021 um 21:19
Weiß ich nicht, um ehrlich zu sein. Aber ich habe darüber nachgedacht, dass es ja auch untentschieden sein kann, also 7 sagen ja und 7 sagen nein. Muss ich das dann abziehen, also muss ich 2^14-(14 über 7) rechnen?
─
anonym390d4
05.11.2021 um 21:24
Ja, die Lösung ist richtig.
\( \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} \) ist ja das gleiche wie \( \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 14 \\ 7 \end{pmatrix} \) (einfach in der Summe 14 über 7 addieren und hinten wieder abziehen) und das ist nach dem Hinweis das gleiche wie \( 2^{14} - \begin{pmatrix} 14 \\ 7 \end{pmatrix} \). ─ 42 05.11.2021 um 21:30
\( \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 14 \\ 8 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} \) ist ja das gleiche wie \( \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \end{pmatrix} + \dots + \begin{pmatrix} 14 \\ 14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 14 \\ 7 \end{pmatrix} \) (einfach in der Summe 14 über 7 addieren und hinten wieder abziehen) und das ist nach dem Hinweis das gleiche wie \( 2^{14} - \begin{pmatrix} 14 \\ 7 \end{pmatrix} \). ─ 42 05.11.2021 um 21:30
Okay dankeschön!!
─
anonym390d4
05.11.2021 um 21:33
Sehr gerne :)
─
42
05.11.2021 um 21:36
Meine Antwort: 14 über 8
Wie viele Möglichkeiten gibt es für eine Mehrheit aus 9 Personen?
Meine Antwort: 14 über 9.
Also wäre meine Rechnung: 14 über 8 plus 14 über 6? Und das wäre das gleiche wie 2^14? Oder rede ich gerade kompletten Quatsch? XD ─ anonym390d4 05.11.2021 um 20:16