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Hier lautet der Trick "Substitution". Da solltest du erkennen, dass man \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\) schreiben kann und entsprechend wählt man \(u = 2^x\).
\(u^2 - 5u + 4 = 0\)
Das mit pq-Formel angehen (oder ähnlichem)
\(u_1 = 1\)
\(u_2 = 4\)
Nun noch resubstituieren:
\(2^{x_1} = u_1\)
\(x_1 = \log_2{u_1} = \log_21 = 0\)
\(2^{x_2} = u_2\)
\(x_2 = \log_2{u_2} = \log_24 = 2\)
Die von dir genannten Lösungen.
Hey,
deine Gleichung lautet: \( 4^x - 5\cdot 2^x + 4 = 0 \). Du kannst hier zunächst substituieren \(2^x = z \). Dann lautet deine Gleichung umgeschrieben:
\( z^2 - 5z + 4 = 0\)
Die Nullstellen dieser quadratischen Gleichungen, ermittelt mit z.B. der pq-Formel lauten:
\( z_1 = 1 \) und \( z_2 = 4 \)
Jetzt muss noch resubstituiert werden.
\( 2^x = z_1 = 1 \Leftrightarrow x = log_2(1) = 0 \)
\( 2^x = z_2 = 4 \Leftrightarrow x = log_2(4) = 2 \)
Das sollten dementsprechend deine beiden Lösungen der Gleichung sein.