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Hi,
du meinst die Lösungen der letzten Gleichung \(0=x^2-x-1\) oder?
Da sind \(x_1=\frac{1}{2}+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1}\approx 1,618\) und \(x_2=\frac{1}{2}-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+1}\approx -0,618\) die Lösungen der quadratischen Gleichung.
Und zwar hat Daniel Jung ja den Goldenen Schnitt mit dem Dreieck \(\Delta\) abgekürzt (bzw. später mit dem \(x\)).
Der Goldene Schnitt \(\Delta\) errechnet sich dann wie folgt:
\(\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{x_n}{x_{n+1}}+1=\Delta\)
Nun gilt:
\(\frac{x_n}{x_{n+1}}+1=\Delta \Leftrightarrow \frac{1}{\Delta}+1=\Delta\)
Denn \(\frac{x_n}{x_{n+1}}=\frac{1}{\frac{x_{n+1}}{x_n}}=\frac{1}{\Delta}\)
Und die Gleichung \(\frac{1}{\Delta}+1=\Delta\) lässt sich eben mit \(\Delta_1\approx 1,618\) und \(\Delta_2\approx -0,618\) lösen.
Beantwortet das schon deine Frage?
Liebe Grüße!
Student, Punkte: 489
Du kannst aber mal mit \(\frac{x_n}{x_{n+1}}\) beginnen. Dann kannst du dieses vom Prinzip her genau so umformen:
\(\frac{x_n}{x_{n+1}}=\Delta=\frac{x_{n+1}}{x_{n+2}}\Leftrightarrow \frac{x_n}{x_{n+1}}=\Delta=\frac{x_{n+1}}{x_n+x_{n+1}}\)
Daraus folgt:
\(\frac{x_n+x_{n+1}}{x_{n+1}}=\frac{1}{\Delta}=\frac{x_n}{x_{n+1}}+1\)
Und daraus erhältst du jetzt:
\(\frac{1}{\Delta}=\Delta +1\)
Wenn du diese Gleichung löst, erhältst du unteranderem die Lösung \(\Delta\approx +0,618\). Und zwar einfach deswegen, da wir jetzt tatsächlich mit dem Verhältnis \(\frac{x_n}{x_{n+1}}\) begonnen haben, was wir vorher nicht getan haben. ─ student201 18.10.2020 um 11:01