8a) Die gesuchte Funktion \(f\) soll die x-Achse berühren. Das bedeutet, dass dort eine doppelte Nullstelle vorliegen muss. Es gilt also \( f(0)=0 \) und \( f^{\prime}(0)=0\). Außerdem geht der Graph der Funktion durch den Punkt \( P(-3 \vert 0) \), also gilt \(f(-3)=0\). Die Gerade \(y=6x\) hat die Steigung \(6\) und da die Tangente im Punkt \(P\) parallel zu dieser Geraden verläuft, muss die Steigung der Tangente ebenfalls \(6\) sein. Es folgt also \( f^{\prime}(-3)=6 \).

8b) Der Graph der gesuchten Funktion \(f\) geht durch die Punkte \( P(1 \vert 4) \) und \( Q(0,2) \). Es gilt also \(f(1)=4\) und \(f(0)=2\). Im Punkt \(P\) liegt ein Extremum vor, es muss also \( f^{\prime}(1)=0 \) sein. Außerdem liegt in \(Q\) ein Wendepunkt vor, es muss also \( f^{\prime \prime}(0)=0 \) sein.

9a) Eine ganzrationale Funktion ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn sie keine geraden Potenzen von \(x\) besitzt. Die gesuchten Funktionen haben also die Form \(f(x)=ax^3+bx \). Zudem soll bei \(x=2\) ein Extrempunkt vorliegen. Es gilt also \(12a+b=f^{\prime}(2)=0\) bzw. \(b=-12a\). Wenn wir auch Sattelpunkte zu den Extrempunkten zählen, dann sind die gesuchten Funktionen also gegeben durch die Funktionenschar \(f_a(x)=ax^3-12ax \) mit \(a \in \mathbb{R}\). Wenn wir Sattelpunkte nicht zu den Extrempunkten zählen, dann muss zusätzlich \( 12a = f^{\prime \prime}(2) \neq 0 \) bzw. \( a \neq 0 \) erfüllt sein. In diesem Fall erhalten wir als die gesuchten Funktionen die Funktionenschar \(f_a(x)=ax^3-12ax \) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

9b) Im Ursprung liegt ein Wendepunkt vor. Für die gesuchten Funktionen gilt also \(f(0)=0\) und \(f^{\prime \prime}(0)=0\). Dass die Wendetangente dort durch \(y=x\) gegeben ist, bedeutet, dass dort die Steigung \(1\) sein muss. Es gilt also \(f^{\prime}(0)=1\).