Die Mathematiker sprechen eine eigene Sprache, nämlich eine Formelsprache. Das kann man beklagen, aber es hat ja einen Grund, warum Mathematiker diese Formelsprache verwenden: Weil sich in natürlichen Sprachen mathematische Sachverhalte nunmal schwer beschreiben lassen.

Die obigen Beweise ohne Formel auszudrücken ist möglich, aber m.E. sinnlos. Das Ergebnis wäre derart schwulstig, dass man es kaum lesen kann.

Hier ein paar Hinweise:
Zu a) Der Satz "die Wertemenge von g sei identisch mit dem Definitionsbereich (Urbildmenge) von f" gehört auch in die Aussage. Die Aussage müsste also präziser lauten:
Wenn f und g injektiv, und wenn der Wertebereich von g gleich dem Definitionsbereich von f ist, dann ist \(f \circ g\) injektiv.

Der Satz
  "Seien also f ,g zwei injektive Abbildungen und die Wertemenge von g sei identisch mit dem Definitionsbereich (Urbildmenge) von f "
ist ein typisches Muster in Beweisen: Hier wird die Voraussetzung der Aussage - meist mit dem Wörtchen "Sei(en)" - als wahr angenommen. Und muss die Folgerung, also "\(f \circ g\) injektiv", bewiesen werden.

Dies wird nun genau in dem Satz
  "Wir haben zu zeigen, dass \(x\not=y \Rightarrow (f \circ g)(x) \not=(f \circ g)(y)\)"
zum Ausdruck gebracht. Und in diesem Satz gibt es wieder eine Voraussetzung (nämlich "\(x\not=y\)") und eine Folgerung (nämlich "\((f \circ g)(x) \not=(f \circ g)(y)\)").

Dann wiederholt sich das Muster. Die Voraussetzung wird als wahr angenommen, und zwar mit dem Satz
  "Seien also \(x\not=y\) zwei verschiedene Elemente aus dem Definitionsbereich von g".
Und nun muss die Folgerung gezeigt werden, also: \((f \circ g)(x) \not=(f \circ g)(y)\).
Das passiert dann im Folgenden. Hierbei werden die Annahmen "f injektiv" und "g injektiv" als Argument verwendet.

Zu b) Hier fehlt der einleitende "Seien..."-Satz. Der Beweis müssten also mit dem Satz beginnen:
  "Seien also f ,g zwei surjektive Abbildungen und die Wertemenge von g sei identisch mit dem Definitionsbereich (Urbildmenge) von f"
Dann kommt der Satz
  "Hier müssen wir zeigen, dass jedes Element aus der Wertemenge N von f ◦g  als Bild angenommen wird."
Hier wird
- die Folgerung wiederholt, nämlich das \(f \circ g\) surjektiv ist.
- Statt "surjektiv" wird aber gleich die Definition von "surjektiv" hingeschrieben
- dem Wertebereich von \(f \circ g\) wird ein Namen gegeben, nämlich N

Nun ist zu zeigen:  Für alle Elemente von N gilt, dass sie von f ◦g  als Bild angenommen werden.
Solche "Für alle"-Aussagen werden oft mit folgenden Muster bewiesen:
- Man knöpfe sich ein Element aus derjenigen Menge (hier: N) vor, für die etwas gelten soll, und verpasse ihm einen Namen. Das passiert mit dem Satz
    "Sei also x ein solches Element."
- und dann zeigt man das, was für alle Elemente gelten soll, nämlich dass es von f ◦g  als Bild angenommen wird. Das passiert dann im folgenden.